（文科）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点．

（文科）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的中点坐标为（2，1），求直线AB的方程；
（Ⅲ）当

•

=0时，求证：直线AB恒过定点（2p，0）．

三唔识七 1年前已收到1个回答举报

风中的芦苇137 幼苗

共回答了18个问题采纳率：100% 举报

解题思路：（Ⅰ）由抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点坐标为（2，1），利用点差法能求出直线AB的方程．
（Ⅲ）设A（

y12

，y₁），B（

y22

，y₂），则

y12y22

4p2

+y1y2＝0，从而求出AB方程：y-y₁=[2py1+y2（x-

y12/2p]），由此能证明AB过定点（2p，0）．

（Ⅰ）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），
∴4p=16，解得p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵线段AB的中点坐标为（2，1），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y²=8x，得：

y12＝8x1
y22＝8x2，两式相减，得2（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
∴k_AB=
y1−y2
x1−x2=4，
∴直线AB的方程为：y-1=4（x-2），即4x-y-7=0
（Ⅲ）证明：设A（
y12
2p，y₁），B（
y22
2p，y₂），
∵

OA•

OB=0，∴OA⊥OB，
∴
y12y22
4p2+y1y2＝0，
∴y₁y₂=-4p²，
k_AB=
y1−y2

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

可能相似的问题

你能帮帮他们吗

精彩回答