已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(1+cosβ，−sinβ)．

（Ⅰ）∵

a⊥

b，
∴

a•

b＝cosα+cosαcosβ−sinαsinβ＝0，
∵α＝
π
3，
∴cos
π
3+cos
π
3cosβ−sin
π
3sinβ＝0，
整理得cos(β+
π
3)＝−
1
2．
∴β+
π
3=2kπ±
2π
3，（k∈Z）．
∵β∈（0，π），取k=0可得β＝
π
3．
（Ⅱ）∵β=α，
∴

a•

b＝cosα+cos2α−sin2α＝cosα+2cos2α−1．
令t=cosα，t∈[-1，1]，
∴

a•

b＝2t2+t−1＝2(t+
1
4)2−
9
8．
∴当t=1时，

a•

bmax＝2，当t＝−
1
4时，

a•

b min＝−
9
8．
∴

a•

b的取值范围为[−
9
8，2]．

点评：
本题考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

考点点评： 本题考查了a⊥b⇔a•b=0、三角函数方程、数量积运算、换元法、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．