（1）已知抛物线y 2 =2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证： OA • OB

（1）若直线l垂直于x轴，则 A(
p
2 ，p) ， B(
p
2 ，-p) .

OA •

OB = (
p
2 ) 2 - p 2 =-
3
4 p 2 ．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k(x-
p
2 ) ，A（x ₁ ，y ₁ ）B（x ₂ ，y ₂ ）．
由

y=k(x-
p
2 )
y 2 =2px ⇒ k 2 x 2 -p(2+ k 2 )x+
p 2
4 k 2 =0 x 1 + x 2 =
(2+ k 2 )
k 2 p， x 1 • x 2 =
p 2
4 ．…（4分）
∴

OA •

OB =x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ = x 1 x 2 + k 2 ( x 1 -
p
2 )( x 2 -
p
2 ) = (1+ k 2 ) x 1 x 2 -
p
2 k 2 ( x 1 + x 2 )+
p 2 k 2
4 = (1+ k 2 )
p 2
4 -
p
2 k 2 •
(2+ k 2 )p
k 2 +
p 2 k 2
4 =-
3
4 p 2 ．
综上，

OA •

OB = -
3
4 p 2 为定值．…（6分）
（2）关于椭圆有类似的结论：
过椭圆
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1(a＞0，b＞0) 的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使

OA •

OB 为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 的右焦点F（c，0）（其中 c=
a 2 - b 2 ）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x ₁ ，y ₁ ）B（x ₂ ，y ₂ ）．
由

y=k(x-c)

x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 ⇒( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 -2 a 2 c k 2 x+( a 2 c 2 k 2 - a 2 b 2 )=0 得：
所以 x 1 + x 2 =
2 a 2 c k 2
a 2 k 2 + b 2 ， x 1 • x 2 =
a 2 c 2 k 2 - a 2 b 2
a 2 k 2 - b 2 ．…（9分）
由对称性可知，设点P在x轴上，其坐标为（m，0）．
所以

PA •

PB =（x ₁ -m）（x ₂ -m）+y ₁ y ₂
=（1+k ² ）x ₁ x ₂ -（m+ck ² ）（x ₁ +x ₂ ）+m ² +c ² k ²
=（1+k ² ）
a 2 c 2 k 2 - a 2 b 2
a 2 k 2 - b 2 -（m+ck ² ）
2 a 2 c k 2
a 2 k 2 + b 2 +m ² +c ² k ²
=
( a 4 - a 2 b 2 - b 4 + a 2 m 2 -2 a 2 cm) k 2 +( m 2 - a 2 ) b 2
a 2 k 2 + b 2
要使

PA •

PB 为定值，
只要a ⁴ -a ² b ² -b ⁴ +a ² m ² -2a ² cm=a ² （m ² -a ² ），
即 m=
2 a 4 - a 2 b 2 - b 4
2 a 2 c =
(2 a 2 + b 2 )c
2 a 2 =
(3- e 2 )c
2
此时

PA •

PB =m ² -a ² =
(2 a 2 + b 2 ) 2 c 2 -4 a 6
4 a 4 =
b 4 ( c 2 -4 a 2 )
4 a 4 …（12分）
若直线l垂直于x轴，则其方程为x=c， A(c，
b 2
a ) ， B(c，-
b 2
a ) ．
取点 P(
(2 a 2 + b 2 )c
2 a 2 ，0)
有

PA •

PB = [
(2 a 2 + b 2 )c
2 a 2 -c ] 2 -
b 4
a 2 =
b 4 ( c 2 -4 a 2 )
4 a 4 ．…（13分）
综上，过焦点F（c，0）的任意直线l交椭圆于A、B两点，存在定点 P(
(2 a 2 + b 2 )c
2 a 2 ，0)
使

PA •

PB =
b 4 ( c 2 -4 a 2 )
4 a 4 ．为定值．…（14分）