如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．

解题思路：（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明∠B=∠C，得出△ABC是等腰三角形；
（2）由于∠CAP=∠B，那么以A、P、C为顶点与△ABC相似的三角形只有△CAP₁或△P₂AC，再根据相似三角形的性质求出AP的长．

（1）证明：∵BC∥AE，
∴∠BCA=∠CAE，
又∵AE切⊙O于点A，
∴∠CAE=∠ABC，
∴∠BCA=∠ABC，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
（2）射线AE上满足条件的点有两个．
①过点C作AB的平行线交AE于点P₁．
∵BC∥AE，
∴ABCP₁为平行四边形，
∴AP₁=BC=8．
②过点C作⊙O的切线交AE于点P₂，
∴∠P₂AC=∠ABC，
又∠P₂CA=∠ACB，
∴△AP₂C∽△CAB，
∴AP₂：AC=AC：BC，
∴AP₂=AC²：BC=12.5．

点评：
本题考点： 切线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定．

考点点评： 综合考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质．本题较难．

（1）
∵BC//AE
∴∠ACB=∠CAE
又∠CAE=∠B
∴∠ACB=∠B
∴△ABC是等腰三角形
（2）
P点有两个，设为P1、P2
当△CAP1∽△ACB时有AP1/CB=AC/AC
此时AP1=BC=8
当△CAP2∽△CBA时有AP2/AB=AC/BC
此时AP2=10*10/8=12.5