Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|d

g(x)是连续函数时，先考虑【a，b】=【--2kpi，2kpi】，其中k是某个正整数。 将区间均分为n份，分点为xi=--2kpi+i*4k*pi/n，0<=i<=n，dxi=xi--x(i--1)=4k*pi/n。 注意到：积分（从x(i--1)到xi）|sinnx|dx=积分（从nx(i--1)到nxi）|siny|dy/n =4k./n*积分（0到pi）|siny|dy=8k/n。 因此积分（从x0到xn）g(x)|sinnx|dx=求和（i=1到n） 积分（从x(i--1)到xi）g(x)|sinnx|dx =求和（i=1到n）g(ai)*积分（从x(i--1)到xi）|sinnx|dx =2/pi*求和（i=1到n）g(ai)*dxi。 求和项是g(x)的Riemann和，极限是g(x)的积分值。取极限得结论。 一般情况，只需将找正整数k，使得【--2k*pi，2k*pi】包含【a，b】，然后定义 m(x)=0，当x不为于【a，b】时。m(x)=g(x)，a<=x<=b时。 （此时m(x)在a，b两点可能不连续，但不影响结果，只需在做分划时稍微注意即可。） 由上面证明知 lim 积分（从--2k*pi到2k*pi）m(x)|sinnx|dx=2/pi*积分（从--2k*pi到2k*pi）m(x)dx， 上式中将m(x)换位g(x)即得一般 性结论。