已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-4x的解集为（1，3）．

解题思路：（1）设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-4x两个根是1，3，由韦达定理求得b=-4a-4，c=3a，可得f（x）=ax²-4（a+1）x+3a．再根据△=16（a+1）²-36a²=0，解得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由题意可得

12a2−16(a+1)2

4a

＞0，再由a＜0可得 a²+8a+4＞0，由此求得a的范围．

（1）设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-4x两个根是1，3，
即ax²+（b+4）x+c=0两个根是1，3，故由韦达定理可得-[b+4/a]=4，[c/a]=3，∴b=-4a-4，c=3a，f（x）=ax²-4（a+1）x+3a．
再根据方程f（x）+6a=0，即ax²-4（a+1）x+9a=0有两个相等的实根，∴△=16（a+1）²-36a²=0，解得a=-[2/5]，
∴f（x）=-[2/5]x²-[12/5]x-[6/5]．
（2）由于f（x）=ax²-4（a+1）x+3a 的最大值为正数，可得
12a2−16(a+1)2
4a＞0，即
a2+8a+4
a＜0，
再由a＜0可得 a²+8a+4＞0，求得 a＜-4-2
3，或-4+2
3＜a＜0，
即a的范围是：{a|a＜-4-2
3，或-4+2
3＜a＜0 }．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．