在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为[1/2]．过F1的直线交椭圆C于A，B两

解题思路：（I）利用椭圆的离心率计算公式e＝

c

a

及其定义即可得到a，b，c，进而即可得到椭圆的标准方程；
（II）设直线l₁的方程为y=kx+3（k＞0），与椭圆的方程联立，由直线与椭圆由两个不同的交点⇔△＞0，可得k的取值范围，及其根与系数的关系；
“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l₁”．即可得到用k表示m，利用导数即可得出取值范围．

（Ⅰ）设椭圆的方程为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)，离心率e＝
c
a＝
1
2，
△ABF₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|AF₁|+|AF₂|=4a=8，
解得a=2，c=1，则b²=a²-c²=3，
所以椭圆的方程为
x2
4+
y2
3＝1．
（Ⅱ）直线l₁的方程为y=kx+3（k＞0），
由


x2
4+
y2
3＝1
y＝kx+3，消去y并整理得（3+4k²）x²+24kx+24=0（*），
△=（24k）²-4×24×（3+4k²）＞0，解得k＞

6
2，
设椭圆的弦GH的中点为N（x₀，y₀），
则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l₁”．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由韦达定理得，x₁+x₂=−
24k
3+4k2，
所以x₀=
x1+x2
2=−
12k
3+4k2，∴y₀=kx₀+3═[9
3+4k2，
∴N(−
12k
3+4k2，
9
3+4k2)，kPN＝−
9
12k+m(3+4k2)，
所以，−
9
12k+m(3+4k2)•k＝−1，解得m＝−
3k
3+4k2(k＞

6/2)．
m′(k)＝
3(2k−
3)(2k+
3)
(3+4k2)2＞
3(
6−
3)(2k+
3)
(3+4k2)2＞0，
所以，函数m＝−
3k
3+4k2(k＞

6
2)在定义域(

6
2，+∞)单调递增，m(

6
2)＝−

6
6]，
所以满足条件的点P（m，0）存在，m的取值范围为(−

6
6，+∞)．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性等基础知识与解题模式，需要较强的推理能力和计算能力．