设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且f（a）=f（b）=[1/b−a]∫baf（x）dx，试证：存在

解题思路：由Rolle定理可知：要证明存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=0，只要证明：∃[ξ₁，ξ₂]⊂[a，b]，使得f′（ξ₁）=f′（ξ₂）；只要证明：∃η∈（a，b），使得f（η）=f（a）=f（b）．由条件f（a）=f（b）=

1

b−a

∫

b a

f(x)dx可知，对F（x）=

∫

x a

f(t)dt，由Lagrange中值定理便可找到这样的点．

令F（x）=
∫xaf(t)dt，则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，
由Lagrange定理可知，存在η∈（a，b），使得
F′(η)＝
F(b)−F(a)
b−a，
即：f（η）=
1
b−a
∫ baf(x)dx=F（a）=F（b）．
于是，在区间[a，η]和[η，b]上分别用Rolle定理，可得：
存在ξ₁∈（a，η），ξ₂∈（η，b），使得f′（ξ₁）=f′（ξ₂）=0．
再对f′（x）在[ξ₁，ξ₂]上用Rolle定理，可得：
存在点ξ∈（ξ₁，ξ₂）⊂（a，b），使得f″（ξ）=0．

点评：
本题考点： 拉格朗日中值定理及推论的应用；用罗尔定理判断导函数根的存在问题．

考点点评： 本题考查了拉格朗日中值定理以及利用罗尔定理判断导函数的根的方法，题目具有较强的综合性，解题的关键步骤是：根据要证明的结论以及已知条件，构造出辅助函数F（x）=∫xaf(t)dt．