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解: |A-λE| =
3-λ 2 4
2 -λ 2
4 2 3-λ
c1-2c2,c3-2c2
-1-λ 2 0
2+2λ -λ 2+2λ
0 2 -1-λ
r2+2r1+2r3
-1-λ 2 0
0 8-λ 0
0 2 -1-λ
=(-1-λ)^2(8-λ)
所以A的特征值为 λ1=λ2=-1, λ3=8
(A+E)X=0的基础解系为 a1=(-1,2,0)',a2=(-1,0,1)'
所以A的属于-1的特征向量为 c1a1+c2a2, c1,c2为不全为零的任意常数.
(A-8E)X=0的基础解系为 a3=(2,1,2)'
所以A的属于8的特征向量为 c3a3, c3 为非零常数
A有3个线性无关的特征向量, 故可相似于对角矩阵
3-λ 2 4
2 -λ 2
4 2 3-λ
c1-2c2,c3-2c2
-1-λ 2 0
2+2λ -λ 2+2λ
0 2 -1-λ
r2+2r1+2r3
-1-λ 2 0
0 8-λ 0
0 2 -1-λ
=(-1-λ)^2(8-λ)
所以A的特征值为 λ1=λ2=-1, λ3=8
(A+E)X=0的基础解系为 a1=(-1,2,0)',a2=(-1,0,1)'
所以A的属于-1的特征向量为 c1a1+c2a2, c1,c2为不全为零的任意常数.
(A-8E)X=0的基础解系为 a3=(2,1,2)'
所以A的属于8的特征向量为 c3a3, c3 为非零常数
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