迷失蔚蓝 幼苗
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∵定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,
两边对x求导,得-f′(-x)+f′(x)=2x,
∴f′(x)=f′(-x)+2x,
令x>0,则-x<0,
∵当x<0时,f′(x)<x,
∴f′(-x)<-x,
∴f′(x)<2x-x,即f′(x)<x,
又f(0)=0,直线y=x过原点,
∴f′(0)≤0,
∴x∈R,都有f′(x)<x,
令F(x)=f(x)+[1/2]-f(1-x)-x,则
F′(x)=f′(x)+f′(1-x)-1<x+1-x-1=0,
即F(x)是R上的单调减函数,且F([1/2])=0,
∴不等式f(x)+[1/2]≥f(1-x)+x,
即F(x)≥0,即F(x)≥F([1/2]),
∴x≤
1
2.
∴原不等式的解集为(-∞,[1/2]].
故答案为:(-∞,[1/2]].
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用.
考点点评: 本题主要考查运用导数研究函数的单调性,并应用单调性解不等式,同时考查构造函数研究函数的性质的能力,如何运用条件,两边对x求导,是解决此类题的关键.
1年前
你能帮帮他们吗