如图，已知直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 ，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA 1 =4，E、F分别是棱CC
| 如图，已知直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 ，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA 1 =4，E、F分别是棱CC 1 、AB中点， （1）判断直线CF和平面AEB 1 的位置关系，并加以证明； （2）求四棱锥A-ECBB 1 的体积。 |
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（1）CF∥平面AEB 1 ；
证明如下：取AB 1 的中点G，
连结EG，FG，
∵F，G分别是棱AB、AB 1 中点，
∴
，
又
，
∴
，
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG，
又
平面AEB，
平面AEB 1 ，
∴CF∥平面AEB 1 。
（2）∵三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 是直棱柱，
∴BB 1 ⊥平面ABC，
又
平面ABC，
∴
，
，
∴AC⊥BC，
，
∴AC⊥平面ECBB 1 ，
∴
，
∵E是棱CC 1 的中点，
∴
，
∴
，
∴
。
证明如下：取AB 1 的中点G，
连结EG，FG，
∵F，G分别是棱AB、AB 1 中点，
∴
，又
，∴
，∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG，
又
平面AEB，
平面AEB 1 ， ∴CF∥平面AEB 1 。
（2）∵三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 是直棱柱，
∴BB 1 ⊥平面ABC，
又
平面ABC，∴
，
， ∴AC⊥BC，
，∴AC⊥平面ECBB 1 ，
∴
，∵E是棱CC 1 的中点，
∴
， ∴
， ∴
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1年前
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