若a+2b+3c=12 a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

若a+2b+3c=12 a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
求a+b^2+c^3的值
本人理解能力差= =
困猪儿 1年前 已收到2个回答 举报
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idoido168 幼苗

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由基本不等式知：
对任意实数a、b、c有
a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ca
三式相加得
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
注意到不等式取等的条件：a=b=c
依题a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
则a=b=c
由a+2b+3c=12得a=b=c=2
所以a+b^2+c^3=14

1年前 追问

5

困猪儿 举报

为什么是这样：a^2+b^2≥2ab b^2+c^2≥2bc c^2+a^2≥2ca 这个是怎么来的？
还有不等式啥的。。都没教过。不懂 = =

举报 idoido168

这是中学阶段的一个重要不等式，其原理基于一个非负数和完全平方公式
对于任意实数a、b
恒有(a-b)^2≥0
这里平方式(a-b)^2就是一个非负数
而由完全平方公式知(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
于是有a^2+b^2-2ab≥0
即a^2+b^2≥2ab
当且仅当a=b时(a-b)^2=0
即a^2+b^2=2ab

cenyifrank 幼苗

共回答了21个问题 举报

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
两边*2移项配方得(a-b^2)+(b-c)^2+(a-c)^2=0 a+2b+3c=12
得a=b=c=2 a+b^2+c^3=14

1年前

2
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