已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒

解题思路：类比椭圆的性质可得：若M、N是双曲线C′上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值

b2

a2

．设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上的关于原点对称的两个点．利用

m2

a2

−

n2

b2

＝1，

x 2 0

a2

−

y 2 0

b2

＝1，及斜率计算公式即可证明．

若M、N是双曲线C′：
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值
b2
a2．证明如下：
设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上的关于原点对称的两个点．
则
m2
a2−
n2
b2＝1，

x20
a2−

y20
b2＝1，
∴n2−
y20=b2(
m2
a2−1)−b2(

x20
a2−1)=
b2
a2(m2−
x20)．
∴k_PM•k_PN=
n−y0
m−x0•
n+y0
m+x0=
n2−
y20
m2−
x

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；类比推理．

考点点评： 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、斜率计算公式，属于中档题．