复变函数问题验证下列各函数为调和函数并有给的定的条件求解析函数f(z)=u+iv.u=x^2+xy-y^2,f(i)=-

调和函数的定义为∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0.
对u(x,y)=x^2+xy-y^2,
∂u/∂x=2x+y,所以∂^2(u)/∂x^2=2；
∂u/∂y=x-2y,所以∂^2(u)/∂y^2=-2.
所以∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0,u为调和函数
设f(z)=u+iv为解析函数,则由Cauchy-Riemann方程知
∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；
∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y.
所以v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C,C为任意常数.
所以
f(z)=u+iv
=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)
=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC
=(1-i/2)(x+iy)^2+iC
=(1-i/2)z^2+iC,
再将f(i)=-1+i代入可求得C=1/2,所以
f(z)=(1-i/2)z^2+i/2