如图甲，二次函数y=ax2+bx+5图象的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C．
如图甲，二次函数y=ax2+bx+5图象的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数图象顶点Q的坐标；
（2）如图乙，若点D是第一象限该函数图象上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限函数图象上的所有点中，该函数图象的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”，这个同学的说法正确吗？请说明理由．
②试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由．
（1）求该二次函数图象顶点Q的坐标；
（2）如图乙，若点D是第一象限该函数图象上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限函数图象上的所有点中，该函数图象的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”，这个同学的说法正确吗？请说明理由．
②试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由．
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（1）将A（-1，0）、B（5，0）分别代入y=ax2+bx+5中，
得
a−b+5＝0
25a+5b+5＝0，解得
a＝−1
b＝4，
∴二次函数为y=-x2+4x+5．
∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴Q（2，9）．
（2）①这个同学的说法不正确．
∵设D（t，-t2+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，则L=-t2+4t+5+t=-t2+5t+5=-（t-[5/2]）2+[45/4]，
∵a＜0，
∴当t=[5/2]时，L最大值=[45/4]．
而当点D与Q重合时，L=9+2=11＜[45/4]，
∴该该同学的说法不正确．
②四边形DCEB不能为平行四边形．
如图，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y轴，
∴[OE/EB]=[CF/BF]=1，即OE=BE=2.5．
当xF=2.5时，yF=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
当xD=2.5时，yD=-（2.5-2）2+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，
∴四边形DCEB不能为平行四边形．
得
a−b+5＝0
25a+5b+5＝0，解得
a＝−1
b＝4，
∴二次函数为y=-x2+4x+5．
∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴Q（2，9）．
（2）①这个同学的说法不正确．
∵设D（t，-t2+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，则L=-t2+4t+5+t=-t2+5t+5=-（t-[5/2]）2+[45/4]，
∵a＜0，
∴当t=[5/2]时，L最大值=[45/4]．
而当点D与Q重合时，L=9+2=11＜[45/4]，
∴该该同学的说法不正确．
②四边形DCEB不能为平行四边形．
如图，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y轴，
∴[OE/EB]=[CF/BF]=1，即OE=BE=2.5．
当xF=2.5时，yF=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
当xD=2.5时，yD=-（2.5-2）2+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，
∴四边形DCEB不能为平行四边形．
1年前
6
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