已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和．

解题思路：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由已知条件得到2a22=a12+a32，由此能求出d=0，从而得到a_n=1．
（Ⅱ）由2Sn＝an2+an，得2Sn−1＝an−12+an−1，二者相减能够推导出a_n=n，由此利用裂项相减法能比较

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

与1的大小．

（Ⅰ）∵数列{a_n}，{an2}都是等差数列，设数列{a_n}的公差为d，
∴2a22=a12+a32，∴2（a₁+d）²=a12+（a₁+2d）²，
∵a₁=1，∴2（1+d）²=1+（1+2d）²，
整理，得2d²=0，∴d=0，∴a_n=1．…5分
（Ⅱ）由于2Sn＝an2+an①
当n≥2时，2Sn−1＝an−12+an−1②
由①-②得：an+an−1＝
a2n−an−12，
又a_n＞0∴an−an−1＝1 (n≥2，n∈N*)，…10分
又a₁=1，∴a_n=n；
∴
1
a1a2+
1
a2a3+…+
1
anan+1
=
1/1×2]+[1/2×3]+…+[1
n(n+1)
=（1-
1/2]）+（[1/2−
1
3]）+…+（[1/n−
1
n+1]）
=1-[1/n+1]＜1．…13分．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查两个数的大小的比较，是中档题，解题时要注意等差数列的通项公式、裂项求和的合理运用．