已知函数y=f（x）=ax2+1bx+c （a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最

解题思路：根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可求c=0，f（x）=

ax2+1

bx

＝

a

b

x+

1

bx

，利用基本不等式可求最小值，由f（1）＜[5/2]得[a+1/b]＜[5/2]，即2b²-5b+2＜0，可求b=1，a=1，故可求函数的解析式．

∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴
ax2+1
bx+c＝−
ax2+1
−bx+c，∴bx+c=bx-c，∴c=0，…（2分）
∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f（x）=
ax2+1
bx＝
a
bx+
1
bx≥2

a
b2，…（4分）
当且仅当x=

1
a时等号成立，于是2

a
b2=2，∴a=b²，…（6分）
由f（1）＜[5/2]得[a+1/b]＜[5/2]，即
b2+1
b＜[5/2]，…（8分）
∴2b²-5b+2＜0，解得[1/2]＜b＜2，…（10分）
又b∈N，∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+[1/x]．…（12分）

点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．