证明：关于x的方程xn+px+q=0（n为正整数,p,q为实数）,当n为偶数时至多有两个实根,当n为奇数至多有三个

结论是不对的,比如p=q=0的时候有n个实根,因为习惯上多项式的根是要计重数的,所以需要适当修正一下：
当n为偶数时至多有两个 不同的 实根,当n为奇数至多有三个 不同的 实根.
首先,若f(x)=x^n+px+q至少有四个不同的实根,利用两次Rolle定理可得f''(x)至少有两个不同的实根,但是f''(x)=n(n-1)x^{n-2}只有x=0一个零点,矛盾.
当n是偶数时,若f(x)至少有三个不同的实根,用一次Rolle定理得f'(x)至少有两个不同的实根,然而f'(x)=nx^{n-1}+p单调,最多只有一个零点,矛盾.

记y=x^n+p*x+q,那么y'=n*x^(n-1)+p，y''=n*(n-1)*x^(n-2)
当n为偶数时，令y'=0，有x=(-p/n)^(1/(n-1)),y''>=0
当x->正负无穷时，y->正无穷，若当x=(-p/n)^(1/(n-1))时,y<0,则有两个实根，y=0，一个，y>0，没有。
当n为奇数时，x->负无穷时，y<0 ; x->正无穷时，y>0。...

太难了，不会