设a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．

解题思路：（1）利用奇函数的定义可得a，再利用奇函数和对数函数的定义域可得b的取值范围．
（2）函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．利用单调递减函数的定义、对数函数的运算性质即可得出．

（1）依题意知：当x∈（-b，b）时，f（-x）=-f（x）恒成立，
即 lg
1-ax
1-2x=-lg
1+ax
1+2x恒成立，
而lg
1-ax
1-2x=-lg
1+ax
1+2x⇔


1-ax
1-2x=
1+2x
1+ax⇔a2x2=4x2⇒a2=4⇒a=-2(2舍去)

1-ax
1-2x＞0
再由[1+2x/1-2x＞0，解得 -
1
2＜x＜
1
2]．
依题意知：(-b，b)⊆(-
1
2，
1
2)，
∴0＜b≤
1
2即b∈(0，
1
2]．
（2）函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．
由（1）知，f(x)=lg
1-2x
1+2x ， x∈(-b，b)，
∀x₁，x₂∈（-b，b），且-
1
2≤-b＜x1＜x2＜b≤
1
2，则0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂
从而 f(x2)-f(x1)=lg
1-2x2
1+2x2-lg
1-2x1
1+2x1=lg
(1-2x2)(1+2x1)
(1+2x2)(1-2x1)＜lg1=0，）
∴f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在区间（-b，b）上单调递减．

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性、单调性、对数函数的运算法则，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．

解题思路：
1.奇函数性质：f（x）= - f（-x）可解出a
2.求定义域：logM M>0
3.单调性：设x1>x2,若f(x1)>f(x2),则单调递增。反之，f(x1) （比较大小可用减法或除法。）