（2011•广州一模）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R，存在正实数L，使得|f（x1）-f（x
（2011•广州一模）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R，存在正实数L，使得|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|都成立．
（1）若f(x)＝
，求L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，数列{an}满足an+1=f（an），n=1，2，…．
①证明：
|ak−ak+1|≤
|a1−a2|；
②令Ak＝
(k＝1，2，3，…)，证明：
|Ak−Ak+1|≤
|a1−a2|．
（1）若f(x)＝
| 1+x2 |
（2）当0＜L＜1时，数列{an}满足an+1=f（an），n=1，2，…．
①证明：
| n |
 |
| k＝1 |
| 1 |
| 1−L |
②令Ak＝
| a1+a2+…ak |
| k |
| n |
|
| k＝1 |
| 1 |
| 1−L |
赞 songsujun 幼苗
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解题思路：（1）由|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，可得
≤L|x1-x2|，从而当x1≠x2时，得L≥
，进而有L≥1，当x1=x2时，|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|恒成立，故问题得解；
（2）①由于an+1=f（an），n=1，2，…，所以当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|，从而
|ak−ak+1|＝|a1−a2|+|a2−a3|+|a3−a4|+…+|an−an+1|≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|=
|a1−a2|．所以问题可证
②由Ak=
，表达出|Ak−Ak+1|＝|
−
|
=
|(a1−a2)+2(a2−a3)+3(a3−a4)+…+k(ak−ak+1)|，再利用①的结论可解．
| |x1−x2|•|x1+x2| | ||||||||
|
| |x1+x2| | ||||||||
|
（2）①由于an+1=f（an），n=1，2，…，所以当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|，从而
| n |
 |
| k＝1 |
| 1−Ln |
| 1−L |
②由Ak=
| a1+a2+…ak |
| k |
| a1+a2+…+ak |
| k |
| a1+a2+…+ak+1 |
| k+1 |
=
| 1 |
| k(k+1) |
（1）证明：对任意x1，x2∈R，有 点评：
|f(x1)−f(x2)|＝|
1+
x21−
1+
x22|=|
x21−
x22
1+
x21+
1+
x22|=
|x1−x2|•|x1+x2|
1+
x21+
1+
x22．…2分
由|f（x1
本题考点： 数列与不等式的综合．
考点点评： 本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识
1年前
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