设三角形的内角ABC.所对得边分别为abc.已知a=1b=2,cos C=1/4,求周长.求cos ( A-C)的值

分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长；
（II）根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值．
（I）∵c^2=a^2+b^2-2abcosC=1+4-4×1/4=4,
∴c=2,
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC= 1/4,∴sinC=√（1-cos^2C=） =√（1-(1/4)^2）= （√15）/4．
∴sinA= asinC/c= √15/4/2= （√15）/8．
∵a＜c,∴A＜C,故A为锐角．则cosA=√（1-(15/8)^2）= 7/8,
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC= 7/8× 1/4+ √15/8× √15/4= 11/16．

a =4 c=√13 sinA=4sinB a/b=sinA/sinB=4 b=a/4=4/4=1 cosC=(a^2 b^2-c^2)/(2ab)=(4^2 1^2-(√13)^2/(2*4*1)=4/8=1/2

根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=1^2+2^2-2*1*2*(1/4)=4
所以c=2为周长a+b+c=1+2+2=5
因为b=c=2,所以C=B,sinC=(根号15)/4
COSA=-COS(B+C)=cos2C=2cosC*cosC+1=7/8,sinA=(根号15)/8
cos ( A-C)=cosAcosC+sinAsinC=7/8*1/4+(根号15)/8*(根号15)/4=11/16

作AD垂直于BC交BC与D，
则cos C=CD/AC=CD/2=1/4,所以CD=0.5
BD=BC-DC=1-0.5=0.5
所以三角形是等腰三角形，腰AB=AC=2
周长=a+b+c=2+2+1=5