已知函数f（x）=[1/2ax2+2x，g（x）=lnx．

（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-[2/a]，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-[2/a]≤1，解得a≤-2，
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程
g(x)
x=f′（x）-（2a+1）整理为[lnx/x＝ax+2−(2a+1)，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（
1
e]，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1-2a）-[1/x]=
2ax2+(1−2a)x−1
x=
(2ax+1)(x−1)
x，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-[1/2a]（舍），
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（[1/e]，e）内有且只有两个不相等的零点，只需

H(
1
e)＞0
H(x)min＜0
H(e)＞0，即


a
e2+
1−2a
e+1＝

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、方程根的个数问题，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，考查学生对问题的分析解决能力，能力要求较高．

1年前

回答问题