1到2000这2000个数中最多可取出多少个数使得这些数中任意三个数的和都不能被7整除?574.

按被7除的余数分组
余1的个数：1到1996共286个
余2的个数：2到1997共286个
余3的个数：3到1998共286个
余4的个数：4到1999共286个
余5的个数：5到2000共286个
余6的个数：6到1994共285个
余0的个数：7到1995共285个
除余0的那组外,每组里任取3个数,其和都不能被7整除.
再考虑不同的组混合.
余1+余2 ,可以,572个
余1+余4 ,可以,572个
余1+余6 ,可以,571个
余2+余4 ,可以,572个
余2+余5 ,可以,571个
余3+余4 ,可以,572个
余3+余5 ,可以,571个
余3+余6 ,可以,571个
2组的不可能超过572个.
3组的不可能.
因此取余1、余2的2组共574个数,及加入余0组的2个数,共574个数,可以保证任意三个数之和都不能被7整除.

此题可以归结为对余数的考察。

自然数中任意一个数除以7，其余数为0、1、2、3、4、5或6，那么可以根据余数的不同构造集合Sx（x=0、1、2、3、4、5或6），Sx为除以7余数为x的集合，另外Sx也可以表示为集合Sx中的任何一个元素。

在这里，把1-2002这2002个数分为7个集合Sx，由于2002=7×286，可知这7个集合各有286个元素。
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