已知函数f（x）=xlnx与函数g（x）=x+[1/ax]（x＞0）均在x=x0时取得最小值，设函数h（x）=f（x）-

已知函数f（x）=xlnx与函数g（x）=x+[1/ax]（x＞0）均在x=x₀时取得最小值，设函数h（x）=f（x）-g（x），e为自然对数的底数．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：[1/e]是函数h（x）的一个极大值点；
（Ⅲ）证明：函数h（x）的所有极值点之和的范围是（[3/e]，[e+1/e]）．

icewind雹 1年前已收到1个回答举报

暗草惊风幼苗

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解题思路：（Ⅰ）先用导数由f（x）求出x₀，再分情况讨论g（x）的最小值及此时x值，由x₀=x即可求出a值；
（Ⅱ）利用导数与函数极值的关系可以证明，为判断h′（x）的符号，此题要对h′（x）再次求导；
（Ⅲ），先找出所有极值点，再求证即可．

（I）f′（x）=（xlnx）′=lnx+1，令f′（x）=0得x=[1/e]，列表：

x（0，[1/e]）[1/e]（[1/e]，+∞）
f′（x）+0-
f（x）1极小值-[1/e]Z∴当x=[1/e]时，函数f（x）=xlnx取得最小值，∴x 0=[1/e]，
当a＜0时，g（x）是增函数，此时无最小值时，
当a＞0，函数g（x）=x+[1/ax]≥2

1
a是最小值，取等号时，x₀=

1
a，
由

1
a=[1/e]，得a=e²．
（II）∵h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-
1
e2x，h′（x）=lnx+
1
e2x2，
∴h″（x）=
e2x−2
e2x3，h″（x）＜0⇔0＜x＜

点评：
本题考点：函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查应用导数求函数的最值、极值，研究函数的单调性，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力，难度较大．

1年前

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