设A={x|-1＜x＜1}，B={x|x-a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是（　　）

解题思路：由题意得f(x)＝

x

1+ 1+x2

（x＞0），令x=tanα(α∈(0，

π

2

))，则f(x)＝

tanα

1+ 1+tan2α

＝

sinα

1+cosα

＝tan

α

2

，由于α∈(0，

π

2

)⇒

α

2

∈(0，

π

4

)，所以tan

α

2

∈(0，1)，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y＝

x

1+ 1+x2

，反解x可得x＝

2y

1−y2

，所以原函数的反函数y＝f−1(x)＝

2x

1−x2

（0＜x＜1）
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1＝

an

1+ 1+ a 2 n

①利用放缩法．an+1＝

an

1+ 1+ a 2 n

＜

an

2

，所以Sn＝a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+

1

22

a+…+

1

2n−1

a=a+a(

1 2 (1− 1 2n−1 )

1− 1 2

)＝a+a(1−

1

2n−1

)＜2a
②因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以an＝

2an+1

1− a 2 n+1

，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1），所以an＝

2an+1

1− a 2 n+1

＜

2an+1

1−an+1

，则

1

an

＞

1

2an+1

−

1

2

⇒

1

an+1

＜

2

an

+1，进而(

1

an+1

+1)＜2(

1

an

+1)，所以

1

an

+1＜(

1

a1

+1)•2n−1＝2n于是可得结论．

由题意得f(x)＝
x
1+
1+x2（x＞0）
令x=tanα(α∈(0，
π
2))，则f(x)＝
tanα
1+
1+tan2α＝
sinα
1+cosα＝tan
α
2
由于α∈(0，
π
2)⇒
α
2∈(0，
π
4)，所以tan
α
2∈(0，1)，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y＝
x
1+
1+x2⇒y−x＝y
1+x2⇒y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得x＝
2y
1−y2，所以原函数的反函数y＝f−1(x)＝
2x
1−x2（0＜x＜1）
（2）证明：因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1＝
an
1+

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；反函数；数列与向量的综合．

考点点评： 本题以新定义为载体，考查函数及反函数的求解，考查不等式的证明，解题的关键是适当放缩，难度较大．