设向量a=（sinx，cosx），b=（sinx，3sinx），x∈R，函数f（x）=a•（a+2b）．

（1）函数f（x）=

a•（

a+2

b）=

a2+2

a•

b=sin2x+cos2x+2(sin2x+
3sinxcosx)
=1+1-cos2x+
3sin2x
=2(

3
2sin2x−
1
2cos2x)+2
=2sin(2x−
π
6)+2．
由2kπ−
π
2≤2x−
π
6≤2kπ+
π
2，
解得kπ−
π
6≤x≤kπ+
π
3(k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ−
π
6，kπ+
π
3](k∈Z)．
（2）由f（x）=2sin(2x−
π
6)+2，得f′(x)＝4cos(2x−
π
6)．
由f′（x）≥2，得cos(2x−
π
6)≥
1
2，
则2k−
π
3≤2x−
π
6≤2kπ+
π
3，
即kπ−
π
12≤x≤kπ+
π
4（k∈Z）．
∴使不等式f′（x）≥2成立的x的取值集合为{x|kπ−
π
12≤x≤kπ+
π
4，k∈Z}．

点评：
本题考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

考点点评： 本题考查了数量积运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、导数的运算法则、余弦函数的单调性，属于中档题．