chenht
幼苗
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:(Ⅰ)据题意可知,点P到直线y=-
1
4 的距离等于它到点F(0,
1
4 )的距离,
所以点P的轨迹是以点F(0,
1
4 )为交点,直
线y=-
1
4 为准线的抛物线.(3分)
因为p=
1
2 ,抛物线开口向上,故
点P的轨迹方程是x 2 =y.
(Ⅱ)若m=0,则直线l为x轴,
此时抛物线x 2 =y与直线l相切.
若m≠0,设与直线l垂直的直线为l′:y=-
1
m x+b,
代入y=x 2 ,得x 2 +
1
m x-b=0(*)
设直线l′与抛物线的交点为A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),
则x 1 =x 2 =-
1
m ,
从而y 1 +y 2 =-
1
m (x 1 +x 2 )+2b=
1
m 2 +2b.
假设点A,B关于直线l对称,
则AB的中点(
x 1 + x 2
2 ,
y 1 + y 2
2 )在l上,
所以
1
2 m 2 +b=m(
-1
2m -3),
即b=-
1
2 -3m-
1
2 m 2 .
由于方程(*)有两个不相等的实根,则△= (
1
m ) 2 +4b>0.
所以 (
1
m ) 2 +4(-
1
2 -3m-
1
2 m 2 )>0,
整理得12m 3 +2m 2 +1<0,
即(2m+1)(6m 2 -2m+1)<0.
由6m 2 -2m+1=6 (m-
1
6 ) 2 +
5
6 >0恒成立,
所以2m+1<0,
即m<-
1
2 .
所以当m<-
1
2 时,抛物线上存在两点关于直线l对称.
故当抛物线y=x 2 上不存在两点关于直线l:y=m(x-3)对称时,
实数m的取值范围是[
1
2 ,+∞).
1年前
3