已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短半轴长为l，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=a2c（c为半焦距）

（本小题满分12分）
（Ⅰ）由点M（2，t）在直线x=
a2
c上，得
a2
c＝2，
故
1+c2
c＝2，∴c=1． 从而a=
2．…（2分）
所以椭圆方程为
x2
2+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0．
即（x-1）²+（y-[t/2]）²=
t2
4+1．其圆心为（1，[t/2]），半径t=

t2
4+1．…（6分）
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=
r2−1=[t/2]．
所以
|3−2t−5|
5＝
t
2，解得t=4．
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5．…（9分）
（Ⅲ）证明：由平几知：|ON|²=|OK||OM|，（K为垂足）
直线OM：y=[t/2x，直线FN：y=-
2
t(x−1)，由

y＝
t
2x
y＝−
2
t(x−1)]，得xk＝
4
t2+4．
∴|ON|²=
(1+
t2
4)xk•
(1+
t2
4)xM=（1+
t2
4）•[4
t2+4•2=2．
所以线段ON的长为定值
2． …（12分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程和圆的方程的求法，考查线段ON的长为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

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