（2012•沙县质检）如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线l1：y=x2和点A（1，2）、B（3，1）．
（2012•沙县质检）如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线l1：y=x2和点A（1，2）、B（3，1）．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，写出平移后的一个抛物线的函数表达式；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A、B两点，记平移后的抛物线为l2．如图②所示，请在图②上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，找出满足条件的点P（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线l2的顶点为C，如图③，若K是y轴上一点，且S△ABC=S△AKC，求点K的坐标．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，写出平移后的一个抛物线的函数表达式；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A、B两点，记平移后的抛物线为l2．如图②所示，请在图②上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，找出满足条件的点P（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线l2的顶点为C，如图③，若K是y轴上一点，且S△ABC=S△AKC，求点K的坐标．
赞 醉舞西风 幼苗
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解题思路：（1）本题答案不唯一，符合条件均可；
（2）应有三点：①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l2于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平行线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点；
（3）可设出平移后的二次函数的解析式，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得l2的函数表达式，再通过求三角形的面积来求K的坐标．由于△ABC的面积无法直接求出，因此可其转换成其他规则图形面积的和差来解．分别过A、B、C三点作x轴的垂线，因此△ABC的面积可用三个直角梯形的面积差来求出．可先根据直线AB求出其与y轴的交点G的坐标，设出K点坐标后即可表示出KG的长，然后可根据△KBG和△KAG的面积差表示出△KAB的面积，然后根据得出的△ABC的面积即可求出K的坐标．
（2）应有三点：①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l2于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平行线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点；
（3）可设出平移后的二次函数的解析式，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得l2的函数表达式，再通过求三角形的面积来求K的坐标．由于△ABC的面积无法直接求出，因此可其转换成其他规则图形面积的和差来解．分别过A、B、C三点作x轴的垂线，因此△ABC的面积可用三个直角梯形的面积差来求出．可先根据直线AB求出其与y轴的交点G的坐标，设出K点坐标后即可表示出KG的长，然后可根据△KBG和△KAG的面积差表示出△KAB的面积，然后根据得出的△ABC的面积即可求出K的坐标．
解（1）有多种答案，符合条件即可．
例如y=x2+1，y=2+x，y=（x-1）2+2或y=x2-2x+3，
（2）作图痕迹如图所示．
由图可知，点P共有4个可能的位置．
（3）设抛物线l2的函数表达式为y=x2+bx+c，
∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l2上，
∵
1+b+c＝2
9+3b+c＝1，
解得
b＝−
9
2
c＝
11
2，
故抛物线l2的函数表达式为y=x2-[9/2]x+[11/2]=（x-[9/4]）2+[7/16]，
故C点的坐标为（[9/4]，[7/16]），
过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F，
则AD=2，CF=[7/16]，BE=1，DE=2，DF=[5/4]，EF=[3/4]，
则S△ABC=S梯形ADEB-S梯形ADFC-S梯形CFEB=[1/2]（2+1）×2-[1/2]（2+[7/16]）×
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了二次函数图象的平移、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识．综合性强，难度较大．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差进行求解．
1年前
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1年前1个回答
你能帮帮他们吗