阿米莉 春芽
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(I)∵点An(xn,yn)在曲线y2=2x(y≥0)上,
∴An(
y2n
2,yn),An-1(
y2n-1
2,yn-1).
∵△Bn-1AnBn是等腰直角三角形,∴
y2n
2-
y2n-1
2=yn+yn-1,
∵yn+yn-1≠0,∴yn-yn-1=2.
由
y2=2x
y=x可以解得x1=y1=2,
∴yn=2+2(n-1)=2n,n∈N*.
∴xn=
y2n
2=2n2,∴an=xn+yn=2n(n+1),n∈N*.
(II)∵当n=8时,a8=144,b8=128,当n=9时,a9=180,b9=256,…,
可以猜想,当n∈N*且n>8时,an<bn成立.下面用数学归纳法证之.
设n=k>9时,ak<bk成立,即,2k-1>2k(k+1)成立,
当n=k+1时,bk+1=2k=2×2k-1>4k(k+1)=2(k+1)(k+2)+2(k+1)(k-2)
∵k>9,∴(k+1)(k-2)>0,∴ak+1<bk+1成立.
综上,m=8时,对任意的n∈N*,当n>m时,an<bn成立.
点评:
本题考点: 数列与解析几何的综合.
考点点评: 本题主要考查数列与解析几何综合的知识点,本题是一道综合性比较强的习题,解答本题的关键是准确求出数列{xn},{yn}及{an}的通项公式,熟练利用数学归纳法等知识点,此题难度较大.
1年前
1年前1个回答
你能帮帮他们吗