设函数f（x）=lnx+[m/x]，m∈R

（1）当m=e时，f′(x)＝
x−e
x2，x＞0，
解f′（x）＞0，得x＞e，
∴f（x）单调递增；
同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）只有极小值f（e），
且f（e）=lne+[e/e]=2，
∴f（x）的极小值为2．
（2）∵g（x）=f′(x)−
x
3=[x−m
x2−
x/3]=0，
∴m=x−
x3
3，
令h（x）=x-
x3
3，x＞0，m∈R，
则h（1）=[2/3]，h′（x）=1-x²=（1+x）（1-x），
令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，
∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，[2/3]）；
同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，
∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（-∞，[2/3]）．
∴当m≤0，或m=[2/3]时，g（x）只有一个零点；
当0＜m＜[2/3]时，g（x）有2个零点；
当m＞[2/3]时，g（x）没有零点．
（3）（理）当b＞a＞0时，
f(b)−f(a)
b−a＜1，
即f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，
∵[x−m
x2＜1，∴m＞x-x²，
∵当x＞0时，二次函数x-x²∈（-∞，
1/4]]，
∴m＞
1
4．
∴当m∈（[1/4]，+∞）时，满足题意．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．

1年前

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