设x1=1,xn=根号(2xn-1),证明当x趋于无穷时,xn极限存在,并求其极限.

不必，后项比前项大于1，就证明了递增；指数小于1，就证明了有界(<2)。如果想更严密的话，推到通项时，可以使用数学归纳法。

并不困难，不过用电脑表示起来有一定困难。 x1=1, x2=2^(1/2) , 设n=k时 x(k)=2^{[2^(k-1)-1]/2^(k-1)} 则当n=k+1时 x(k+1)=√[2x(k)]=√2^{[2^(k-1)-1]/2^(k-1)+1} =√2^{[2^(k)-1]/2^(k-1)}=2^{[2^(k+1-1)-1]/2^(k+1-1)} ∴对于一切n，均有 xn=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)} ∵x(n)/x(n-1)=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}/2^{[2^(n-2)-1]/2^(n-2)}>1 ∴xn单调递增 ∵[2^(n-1)-1]/2^(n-1)<1 ∴ xn<2 根据极限存在定理知，xn有极限 lim[n→∞]xn=lim[n→∞]2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}=lim[n→∞]2^{1-1/2^(n-1)}=2