在直角坐标系XOY中,直线X+Y-2-√2=0与X轴,Y轴相交于A,B两点,三角形AOB内切圆为M,P为圆M上的任意一点
在直角坐标系XOY中,直线X+Y-2-√2=0与X轴,Y轴相交于A,B两点,三角形AOB内切圆为M,P为圆M上的任意一点,则
(接上文,)则PA^+PO^+PB^的最小值,
(接上文,)则PA^+PO^+PB^的最小值,
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依题设,得 A(2+√2,0) B(0,2+√2) △AOB为直角三角形,斜边AB=2+2√2
内切圆M的半径为 [(2+√2)+(2+√2)-(2+2√2)]/2=1(等面积法可得)
M在第一象限,且到X轴,Y轴的距离都等于半径1,则 其坐标为(1,1)
圆M的方程为(x-1)²+(y-1)²=1 则可设P坐标为(1+cosa,1+sina) (0≤a＜2π)
则 PA²+PO²+PB²=[(x-2-√2)²+y²]+(x²+y²)+[x²+(y-2-√2)²]
=(2-2√2)(sina+cosa)+(13+4√2)
=-(4-2√2)sin(a+π/4)+13+4√2
当sin(a+π/4)=1即a=π/4时,PA²+PO²+PB²取最小值15+2√2
内切圆M的半径为 [(2+√2)+(2+√2)-(2+2√2)]/2=1(等面积法可得)
M在第一象限,且到X轴,Y轴的距离都等于半径1,则 其坐标为(1,1)
圆M的方程为(x-1)²+(y-1)²=1 则可设P坐标为(1+cosa,1+sina) (0≤a＜2π)
则 PA²+PO²+PB²=[(x-2-√2)²+y²]+(x²+y²)+[x²+(y-2-√2)²]
=(2-2√2)(sina+cosa)+(13+4√2)
=-(4-2√2)sin(a+π/4)+13+4√2
当sin(a+π/4)=1即a=π/4时,PA²+PO²+PB²取最小值15+2√2
1年前
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