已知函数f（x）=[1/3]ax3+2x2，其中a＞0

解题思路：（1）根据导数的几何意义可知在x处的导数等于切线的斜率，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）先求导f′（x）=ax²+4x=x（ax+4），再对a进行分类讨论：当-1≤-[4/a]，当-[4/a]＜-1；分别求得f（x）在区间[-1，1]上的最小值，从而列出关于a的方程即可求得a=12．

（1）a=3时f（x）=x³+2x²f′（x）=3x²+4x
设切点（m，m³+2m²）（m＞0），则在切点处的切线的斜率为k=3m²+4m
∴切线方程y-m³-2m²=（3m²+4m）（x-m）
∵过（
4
7]，0）
∴-m³-2m²=（3m²+4m）（[4/7]-m）即7m³+m²-8m=0
m=0（舍）或m=1或m=-[8/7]
∴所求的切线方程7x-y-4=0
（2）f（x）=[1/3]ax³+2x²∴f′（x）=ax²+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-[4/a]或x＞0，f′（x）＜0，-[4/a]＜x＜0
y=f（x）在x＜-[4/a]或x＞0上单调增，在-[4/a]＜x＜0上单调减．
当-1≤-[4/a]即a≥4时y=f（x）在[-1，-[4/a]]，[0，1]上单调增，在[-[4/a]，0]上单调减，f（x）的最小值在x=-1或x=0时取到，
f（0）=0不符合题意，f（-1）=-[1/3]a+2，a=12
当-[4/a]＜-1即0＜a＜4时y=f（x）在[0，1]上单调增，在[-1，0]上单调减
∴y=f（x）的最小值在x=0取到
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．