数学分析中一致收敛与收敛有什么区别

h-g-g 1年前 已收到1个回答 举报
赞

小x乱蓬蓬 花朵

共回答了13个问题采纳率：100% 举报

从定义上看：
fn一致收敛到f：对于任意的e0,存在一个N0,使对于任意的x在定义域和nN,|f(x)-fn(x)|fn逐点收敛到f：对于任意的e0,对于任意的x在定义域,存在一个N_x0,使任意的和nN_x,|f(x)-fn(x)|这里注意到,我在逐点收敛的N上标了一个下标x,表示N和x是有关系的.而一致收敛的N是先取的,是对所有x都适用的.这个就是最大的区别：
逐点收敛指在每个点,函数值fn(x)都收敛到f(x),但是不同点收敛快慢可能不一样.
一致收敛指所有fn(x)大约“同步”地收敛到整个f(x).追问：
收敛一定能一致收敛吗回答：
不一定啊,但反之一定!追问：
我看过一个证明题 证级数的连续 答案先证其收敛 然后直接得出一致收敛 再直接得出连续…… 我十分的不理解……回答：
为什么要引进一致连续的概念呢?容易证明有限个“连续函数”的和仍然是“连续函数”.但是,对于函数项级数,每一项函数都是连续的,在每一点x处级数收敛的,函数项级数收敛于和函数S(x),我们自然要问S(x)是否是连续函数?很遗憾,可举出反例,不一定.有如下定理：在闭区间上,函数项级数中的每一项连续,且一致收敛于S(x),则S(x)在该闭区间上也连续.上述讨论注意“连续函数”,改为“可导函数”,“可积函数”也成立.可见一致收敛的概念是多么强有力!需要补充的是,你说你看到的是证明了收敛就得到一致收敛,你可以查一下分析书里,有好几个一致收敛的判定定理,证明中一定用了其中一个.

1年前

6
可能相似的问题

你能帮帮他们吗

精彩回答

Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 16 q. 0.037 s. - webmaster@yulucn.com