（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=−x3+x2+bx+c，(x＜1)alnx，(x≥1)和图象过坐标原点O，且在

解题思路：（1）求导数，根据函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，图象过坐标原点，即可求得实数b，c的值；
（2）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，求导函数，确定函数的单调性，计算函数值，从而可得函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值；
（3）设P（x₁，f（x₁）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），根据OP⊥OQ，可得

f(x1)

x1

•

f(−x1)

−x1

=-1，分类讨论，确定函数的解析式，利用

f(x1)

x1

•

f(−x1)

−x1

=-1，即可求得结论．

（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2x+b
∵函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，∴f′（-1）=-5
∴-3-2+b=-5，∴b=0
∵f（0）=0，∴c=0
∴b=0，c=0
（2）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，∴f′（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0有-3x²+2x=0，∴x=0或x=[2/3]
令f′（x）＞0，可得0＜x＜[2/3]；令f′（x）＜0，∵-1≤x≤1，∴-1≤x＜0或[2/3＜x≤1
∴函数在-1，0，
2
3]，1出取得最值
∵f（-1）=2，f（0）=0，f（[2/3]）=[4/27]，f（1）=0
∴函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为0；
（3）设P（x₁，f（x₁）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），
∵OP⊥OQ，∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1
①当x₁=1时，f（x₁）=0；当x₁=-1时，f（-x₁）=0，∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1≠-1；
②当-1＜x₁＜1时，f（x₁）=−x13+x12，f（-x₁）=x13+x12，代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1，可得(−x13+x12)(x13+x12)＝x12，∴x14−x1

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类，灵活运用导数是关键．