通过点A（0，a）的直线y=kx+a与圆（x-2）2+y2=1相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使|BP|：

（1）设B（x₁，y₁），c（x₂，y₂），P（x，y），
依题意知，
|BP|
|PC|＝
x−x1
x2−x，
|AB|
|AC|＝
x1
x2，
∴
x−x1
x2−x＝
x1
x2，∴x＝
2x1x2
x1+x2…（4分）
由直线方程代入圆方程，整理得，（1+k²）x²+（2ak-4）x+（a²+3）=0
由x1+x2＝
4−2ak
1+k2，x1x2＝
a2+3
1+k2代入x＝
2x1x2
x1+x2
得x＝
a2+3
2−ak，y＝k
a2+3
2−ak+a＝
3k+2a
2−ak…（6分）
（2）由x，y的表达式中消去k得2x-ay-3=0，
∴点P的轨迹是直线2x-ay-3=0在圆内的部分．…（8分）
（3）证明：直线2x-ay-3=0恒过定点M（[3/2]，0），点M到圆心C（2，0）的距离|MC|＝
1
2＜r=1，
∴该点在圆内
∴P点的轨迹恒过圆内的一定点…（10分）

点评：
本题考点： 轨迹方程；点与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．