已知[1/3]≤a≤1，若函数f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a

解题思路：（1）明确f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=[1/a]，由[1/3]≤a≤1，知1≤[1/a]≤3，可知f（x）在[1，3]上单调递减，N（a）=f（[1/a]）=1-[1/a]．由a的符号进行分类讨论，能求出g（a）的解析式；
（2）根据（1）的解答求g（a）的最值．

f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=[1/a]，
∵[1/3]≤a≤1，∴1≤[1/a]≤3，
∴f（x）在[1，3]上单调递减，f（x）_min=N（a）=f（[1/a]）=1-[1/a]．
∵f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），
∴①当1≤[1/a]≤2，即[1/2]≤a≤1时，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（[1/a]）=1-[1/a]．
g（a）=M（a）-N（a）=9a+[1/a]-6．
②当2＜[1/a]≤3时．即[1/3]≤a＜[1/2]时，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（[1/a]）=1-[1/a]．
g（a）=M（a）-N（a）=a+[1/a]-2．
∴g（a）=

9a+
1
a−6，
1
2≤a≤1
a+
1
a−2，
1
3≤a＜
1
2．
（2）由（1）可知当[1/2]≤a≤1时，g（a）=M（a）-N（a）=9a+[1/a]-6≥0，当且仅当a=

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的解析式的求法以及分段函数的最值求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．