（2014•开封模拟）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线为L，焦点为F，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切

解题思路：（Ⅰ）画出图形，设准线交y轴于N，在直角三角形ANO中，结合已知条件求出|ON|即p的值，则抛物线方程可求，在三角形MOB中，由三角形为正三角形得到|OM|的值，从而求得圆的方程；
（Ⅱ）设出两个切点的坐标，求出两条切线的方程，进一步得到ST所在直线方程，写出原点到ST的距离，分析可知当a=0时即Q在y轴上时原点到ST的距离最大，由此求出ST与MQ的长度，则四边形QSMT的面积可求．

（Ⅰ）如图，

设准线L交y轴于N(0，-
p
2)，在Rt△OAN中，∠OAN=
π
6，
∴|ON|=
|OA|
2=1，
∴p=2，则抛物线方程是x²=4y；
在△OMB中有OM=OB，∠MOB=
π
3，
∴OM=OB=2，
∴⊙M方程是：x²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），Q（a，-1）
∴切线SQ：x₁x+（y₁-2）（y-2）=4；切线TQ：x₂x+（y₂-2）（y-2）=4，
∵SQ和TQ交于Q点，
∴ax₁-3（y₁-2）=4和ax₂-3（y₂-2）=4成立，
∴ST方程：ax-3y+2=0．
∴原点到ST距离d=
2

a2+9，当a=0，即Q在y轴上时d有最大值．
此时直线ST方程是y=
2
3．
代入x²+（y-2）²=4，得x=±
2
5
3．
∴|ST|=
4
5
3，|MQ|=3．
此时四边形QSMT的面积S=
1
2×
4
5
3×3=2
5．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到抛物线以及圆的标准方程的求法，考查了圆的切线方程的求法及过圆切点的直线方程的求法，综合考查了学生分析问题的能力和基础的运算能力，是有一定难度题目．