如图，已知直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线L2经过B、C两点，点C的坐

解题思路：（1）因为直线L₁的解析式为y=1.5x+6，直线L₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，所以分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标，又因直线L₂经过B、C两点，B的坐标已经求出，点C的坐标为（8，0），所以利用待定系数法结合方程组即可求出L₂的解析式；
（2）要求△PCQ的面积S，需求出PC上的高，因此需过点Q作QE⊥AC于点E，因为OB=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因为QE⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形对应边的比等于相似比可得[QE/BO]=[CQ/CB]，所以QE=[6/10]t，S=[1/2]PC•QE=[1/2]（12-t）•[3/5]t，整理即可；
（3）由（2）知S=-[3/10]t²+[18/5]t=-[3/10]（t-6）²+10.8，利用二次函数最值的求法可知当t=6时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，L_△CBO=6+8+10=24，利用CP+CQ=12，从而可判断此时直线PQ将三角形的周长平分，接下来求Q的坐标：
由（2）中△QCE∽△BOC，可得[QE/BO]=[CQ/BC]=[CE/CO]，即[QE/6]=[6/10]=[CE/8]．所以QE=[18/5]，CE=[24/5]，OE=OC−CE＝8−

24

5

＝

16

5

，即点Q的坐标为（[16/5]，[18/5]）；
（4）因为△PCQ为等腰三角形，所以需分情况讨论：
①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形，因为AP=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
②当PQ=CQ时，因为QE⊥OC，所以CE=OE=[1/2]（12-t），利用△CQE∽△CBO，可得[CQ/CB]=[CE/CO]，代入相关数据即可求出t的值；
③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，可过点P作PH⊥BC于点H，利用等腰三角形的三线合一可得CH=HQ=[1/2]t，因为∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，可得△CHP∽△COB，所以[CH/OC]=[CP/CB]，代入相关数据即可求出t的值．

（1）y=-[3/4]x+6．

（2）过点Q作QE⊥AC于点E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴[QE/BO]=[CQ/CB]，[QE/6]=[t/10]，∴QE=[6/10]t=[3/5t，
∴S=
1
2]PC•QE=[1/2]（12-t）•[3/5]t=-[3/10]t²+[18/5]t．

（3）存在，
S=-[3/10]t²+[18/5]t=-[3/10]（t-6）²+10.8，
∴当t=2时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，
∴L_△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴[QE/BO]=[CQ/BC]=[CE/CO]，即[QE/6]=[6/10]=[CE/8]．
∴QE=[18/5]，CE=[24/5]，
∴OE=OC−CE＝8−
24
5＝
16
5，
∴点Q的坐标为（[16/5]，[18/5]）．

（4）①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，当PQ=CQ时，△PQC为等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=[1/2]（12-t）
∵△CQE∽△CBO，
∴

点评：
本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 本题是一道综合性较强的题目，需仔细分析题意，利用一次函数和相似三角形的知识来解决问题，另外要注意解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．