若二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则自然数a=______．

解题思路：由原方程至少有一个整数根，得到a≠0，△=4（2a-1）²-4a•4（a-3）=4（8a+1）为完全平方数，可设8a+1=（2m+1）²（m为自然数），从而得到a＝

1

2

m(m+1)，把它代入原方程然后利用求根公式解得x1＝−2+

4

m

，x2＝−2−

4

m+1

，由于x₁，x₂中至少有一个整数，m为自然数，利用整数的整除性即可求出m的值，最后计算出对应的a的值．

∵原方程至少有一个整数根，
∴a≠0，△=4（2a-1）²-4a•4（a-3）=4（8a+1）为完全平方数，
设8a+1=（2m+1）²（m为自然数），
∴a＝
1
2m(m+1)代入原方程，得[1/2m(m+1)x2+2[m(m+1)−1]x+2m(m+1)−12＝0，
解之得，x1＝−2+
4
m，x2＝−2−
4
m+1]，
∵x₁，x₂中至少有一个整数，
∴m|4或（m+1）|4，
又∵m为自然数，
∴m=1，2，4或m+1=2，4．
∴m=1，2，3，4，
∴a=1，3，6，10．
故答案为：1，3，6，10．

点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程有整数根的条件：判别式△=b2-4ac为完全平方数．也考查了利用求根公式解一元二次方程以及整数的整除性质．