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如图所示,
由双曲线
x2
4−
y2
4=1得a2=b2=4,∴c=
2a=2
2.可得:顶点(±2,0),右焦点F(2
2,0).
①假设l⊥x轴,把x=2
2代入双曲线方程得
(2
2)2
4−
y2
4=1,解得y=±2,此时|AB|=4满足条件,因此直线x=2
2满足题意;
②假设直线l的斜率k=0,即取x轴时,直线l与双曲线的两个交点分别为左右顶点,此时满足|AB|=4.
③假设直线l的斜率存在且不为0时,由双曲线的性质可得:若直线l与双曲线的右支相交于两点,则两个交点的距离|AB|>直线l经过右焦点且与x轴垂直时的两个交点的距离4;
若直线l与双曲线的左右支相交于两点,则两个交点的距离|AB|>两个顶点的距离4.
综上可知:满足条件的直线有且只有2条.
故答案为2.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质.
考点点评: 本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题.
1年前
你能帮帮他们吗