求经过点P（3，1）且与圆x2+y2=9相切的直线方程．

解题思路：解法一：将点P（3，1）代入圆的方程得3²+1²=10＞9，所以点P在圆外，可设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．
解法二：直线与圆相切，就是直线与圆有唯一公共点，于是将两曲线方程联立所得的方程组有唯一解，从而方程判别式△=0，由此解得k值，然后回代所设切线方程即可．

解法一：当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
由点斜式可得切线方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
∴
|−3k+1|

k2+1=3，解得k=-[4/3]．
故所求切线方程为-[4/3]x-y+4+1=0，即4x+3y-15=0．
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=3，也满足条件．
故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3．
解法二：设切线方程为y-1=k（x-3），与圆的方程联立，消去y并整理得（k²+1）x²-2k（3k-1）x+9k²-6k-8=0．
因为直线与圆相切，所以△=0，即[-2k（3k-1）]²-4（k²+1）（9k²-6k-8）=0．
解得k=-[4/3]，
所以切线方程为4x+3y-15=0．
又过点P（3，1）与x轴垂直的直线x=3也与圆相切，故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3．

点评：
本题考点： 圆的切线方程．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查切线方程．若点在圆外，所求切线有两条，特别注意当直线斜率不存在时的情况，不要漏解．

首先画个图，观察下可发现，直线有两条
一条斜率存在（y=-4/3x +5），另一条斜率不存在（x=3）
假设斜率存在，设y=k（x-3）+1，应用点到直线距离公式，原点到直线距离为3，得斜率为-4/3

设直线方程为：y=kx+b
带入方程：b/(1^2+k^2)^0.5=3 方程式 1
又由 3k+b=1 及b=1-3k
带入方程式 1 得：k=-4/3
则方程为：y=-4/3x+b
带入(3,1）得b=5
该函数方程为：
y=-4/3x+5