（2013•南通二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出

解题思路：（1）求出AC，根据△APQ∽△ABC得出方程，求出方程的解即可；
（2）①根据线段垂直平分线得出AP=AQ，得出3-t=t，求出t=1.5，延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，根据△AQO∽△ABC，求出AO=[5/2]，QO=2，根据△APE∽△OPQ即可求出答案；②（i）当点Q从B向A运动时，直线l过B点，BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，∠PBC=∠PCB，得出CP=AP=[1/2]AC，代入求出即可；（ii）当点Q从A向B运动时，直线l过B点，过P作PG⊥BC于G，根据△PGC∽△ABC求出PG=[3/5]（5-t），CG=[4/5]（5-t），由勾股定理得出方程（6-t）²=（[4/5]t）²+[[3/5]（5-t）]²，求出方程的解即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
∵△APQ∽△ABC，
∴[AP/AB]=[AQ/AC]，
∴[t/3]=[3−t/5]，
t=[9/8]；

（2）①∵QP的垂直平分线过A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，
t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，
则QO∥BC，
∴△AQO∽△ABC，
∴[AO/AC]=[AQ/AB]=[QO/BC]，
∴AO=[AQ/AB]•AC=[5/2]，QO=[AQ/AB]•BC=2，
∴PO=AO-AP=1，
∵QO∥AD，
∴△APE∽△OPQ，
∴[AE/OQ]=[AP/OP]，
∴AE=[AP/OP]•OQ=3．

②存在t的值，使得直线l经过点B，
理由是：（i）如图2，
当点Q从B向A运动时，直线l过B点，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t，
∴CP=AP=[1/2]AC=[1/2]×5=2.5，
即t=2.5；
（ii）如图3，
当点Q从A向B运动时，直线l过B点，
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
过P作PG⊥BC于G，
则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴[PC/AC]=[PG/AB]=[GC/BC]，
∴PG=[PC/AC]•AB=[3/5]（5-t），CG=[PC/AC]•BC=[4/5]（5-t），
由勾股定理得：BP²=BG²+PG²，
∴（6-t）²=（[4/5]t）²+[[3/5]（5-t）]²，

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．