已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1(−32，0)、F2(32，0)，点P是第一象限内双曲

解题思路：在△PF₁F₂中，根据正弦定理算出PF₁=2PF₂．根据tan∠PF₁F₂=[1/2]，tan∠PF₂F₁=-2，结合三角形内角和与两角和的正切公式，得到tan∠F₁PF₂值，从而算出cos∠F₁PF₂值，根据余弦定理得到PF12+PF22-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=3．将两式联解即得PF₁、PF₂的长，从而得到双曲线的2a值，最后用离心率的公式可求出双曲线的离心率．

∵△PF₁F₂中，sin∠PF₁F₂═

5
5，sin∠PF₁F₂═
2
5
5，
∴由正弦定理得
PF1
PF2＝
sin∠PF2F1
sin∠PF1F2＝2，…①
又∵tan∠PF1F2＝
1
2，tan∠PF₂F₁=-2，
∴tan∠F₁PF₂=-tan（∠PF₂F₁+∠PF₁F₂）=-

1
2−2
1+
1
2×2=[3/4]，可得cos∠F₁PF₂=[4/5]，
△PF₁F₂中用余弦定理，得PF12+PF22-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=F1F22=3，…②
①②联解，得PF1＝
2
15
3，PF2＝

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题以求双曲线的离心率为载体，考查正余弦定理解三角形、两角和的正切公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．