设f（x）为连续函数，（1）求初值问题y′+ay＝f(x)y|x＝0＝0的解f（x），其中a是正常数；（2）若|f（x）

（1）【解法一】
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
所以 y′+ay=f（x） 的通解为
y=e-∫adx（∫f（x）e∫adxdx+C）=e^-ax （∫f（x）e^axdx+C）=e^-ax （F（x）+C），
其中，F（x） 是 f（x）e^ax 的任一原函数．
由　y（0）=0 可得，C=-F（0）．
所以 y（x）=e^-ax （F（x）-F（0））=e^-ax
∫x0f(t)eatdt．
【解法二】
在方程 y′+ay=f（x） 两边同时乘以 e^ax，可得
e^axy′+ae^ax y=e^axf（x），
即 （e^ax y）′=e^axf（x）．
两边积分可得，
eaxy ＝
∫ x0eatf(t)dt，
即：y（x）=e^-ax
∫x0f(t)eatdt．
（2）|y（x）|=e^-ax|
∫ x0f(t)eatdt |
≤e^-ax
∫x0|f(t)|eatdt
≤ke^-ax
∫x0eatdt（∵|f（x）|≤k）
≤
k
a]e^-ax（e^ax-1）
≤[k/a]（1-e^-ax）．

点评：
本题考点： 微分方程的显式解、隐式解、通解和特解；原函数的性质；一阶线性微分方程的求解．

考点点评： 本题综合性较强，综合考察了一阶线性微分方程的求解、原函数的性质以及定积分的性质与应用．本题的解题思路比较巧妙，对于该题的证明，需要积累一定的做题经验与技巧．