ldcr123 幼苗
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(1)∵α+β=1,αβ=-1.
∴S1=α+β=1.
S2=α2+β2=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S3=α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S4=α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=9-2=7.
故答案为:1,3,4,7;
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2.
证明:∵α,β是方程x2-x-1=0的两根,
∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
αn
α+
αn
α2+
βn
β+
βn
β2
=
αn(1+α)
α2+
βn(1+β)
β2
=αn+βn
=Sn.
故Sn=Sn-1+Sn-2.
(3)由(2)有:
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29.
点评:
本题考点: 整式的混合运算.
考点点评: 本题考查的是整式的混合运算,(1)题运用乘法公式计算求出S1,S2,S3,S4的值.(2)题以(1)题结果为依据猜想Sn,Sn-1,Sn-2的关系,并根据α,β是方程x2-x-1=0的两根进行证明.(3)题利用(2)题的结论进行计算求出式子的值.
1年前
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