一道有关集合的奥数题,以某些整数为元素集合P具有下列性质：①P中的元素有正数,负数；②P中元素有奇数,偶数；③-1不属于

本解中/∈表示不属于
0∈p,2/∈p
由(1)知,P中有正数,也有负数,设其中的一个正数是M,负数是-N
那么,由(4)知:
M∈P,M∈P,M+M=2M∈P,2M+M=3M∈P.NM∈P
-N∈P,-N∈P,-2N∈P,-3N∈P.-MN∈P
所以0=-NM+NM∈P
假设2∈P,那么由(4)很容易得到所有的正偶数都∈P
如果P中有负奇数:-2N-1(N>0)那么在P中可以找到正偶数2N使得-1=2N+(-2N-1)∈P与(3)矛盾;
那么P中的负数应该全是偶数,并且奇数全是正数
设P内有一负偶数-2X,那么,由于2∈P,-2(X-1).-2都∈P
由于-2∈P,那么,所有的负偶数∈P
设P内有正奇数2N-1(N>0),那么由于所有的负偶数∈P
可以找到-2N∈P
得2N-1+(-2N)=-1∈P与(3)矛盾
所以2/∈P