在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C.D两点,设大圆和小圆的半径分别为a,b.求证：AD*BD=a²-b²

设圆心O,AB中点为M,OM垂直于AB（简单的结论）
一个简单的结论自己证（最简单的用对称性）：AC = BD
知：AM = AB/2 = (AD+BD)/2
CM = CD/2 = (AD-AC)/2 = (AD-BD)/2
在直角三角形OMA中,OM^2 = a^2-AM^2
在直角三角形OMC中,OM^2 = b^2-CM^2
所以 a^2-AM^2 = b^2-CM^2
=> a²-b² = AM^2-CM^2 = (AM+CM)(AM-CM)
将AM = (AD+BD)/2、CM = (AD-BD)/2 代入得：
a²-b² = AD*BD

连接OB，OD，过圆心O作OE垂直于AB，垂足为E。设DE=x，BD=y，根据垂径定理知AE=BE，所以AD=AE+DE=(x+y)+x=2x+y,所以AD*BD=(2x+y)*y=2xy+y2。利用勾股定理可得：a2-(x+y)2=b2-x2 ,所以a2 -b2 =2xy+y2，所以AD*BD= a2 -b2

ad=a+b
bd=a-b
ad*bd=(a+b)(a-b)=a^2-b^2