已知x，y≠kπ+ π 2 （k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，cosθ的等比中项．

证明：（1）∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin ² y②，
① ² -②×2，可得（sinθ+cosθ） ² -2sinθcosθ=4sin ² x-2sin ² y，即4sin ² x-2sin ² y=1．
∴4×
1-cos2x
2 -2×
1-cos2y
2 =1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故证得cos2x=
1
2 cos2y；
（2）要证
2(1- tan 2 x)
1+ tan 2 x =
1- tan 2 y
1+ tan 2 y ，只需证
1-
sin 2 x
cos 2 x
1+
sin 2 x
cos 2 x =
1-
sin 2 y
cos 2 y
2(1+
sin 2 y
cos 2 y ) ，
即证
cos 2 x- sin 2 x
cos 2 x+ sin 2 x =
cos 2 y- sin 2 y
2( cos 2 y+ sin 2 y) ，即证cos ² x-sin ² x=
1
2 （cos ² y-sin ² y），只需证cos2x=
1
2 cos2y．
由（1）的结论，cos2x=
1
2 cos2y显然成立．
所以
2(1- tan 2 x)
1+ tan 2 x =
1- tan 2 y
1+ tan 2 y ．